Oczekiwany zwrot, odchylenie i odchylenie standardowe od wariancji portfela następnie odmierza każde kwadratowe odchylenie o jego prawdopodobieństwo, dając nam następujące obliczenia: Teraz, gdy przeszliśmy prosty przykład, jak obliczyć wariancję, przyjrzyjmy się wariancji portfela. Wariancja zwrotu portfela jest funkcją wariancji aktywów składowych, a także kowariancji między nimi. Kowariancja jest miarą stopnia, w jakim zwroty z dwóch ryzykownych aktywów idą w parze. Dodatnia kowariancja oznacza, że zwroty aktywów są ze sobą powiązane. Negatywna kowariancja oznacza odwrotny ruch powrotny. Kowariancja jest ściśle powiązana z korelacją, przy czym różnica między tymi dwoma polega na tym, że te ostatnie wpływają na odchylenie standardowe. Nowoczesna teoria portfela mówi, że wariancję portfela można zmniejszyć, wybierając klasy aktywów o niskiej lub ujemnej kowariancji, takie jak akcje i obligacje. Ten rodzaj dywersyfikacji służy do zmniejszenia ryzyka. Wariancja portfela odnosi się do kowariancji lub współczynnika korelacji dla papierów wartościowych w portfelu. Zmienność portfela oblicza się, mnożąc kwadratową wagę każdego papieru wartościowego przez odpowiadającą mu wariancję i dodając dwukrotność średniej ważonej masy pomnożonej przez kowariancję wszystkich indywidualnych par bezpieczeństwa. W ten sposób otrzymujemy następującą formułę do obliczenia wariancji portfela w prostym portfelu dwóch aktywów: (waga (1) 2 wariancja (1) waga (2) 2variance (2) 2 waga (1) waga (2) kowariancja (1,2) Oto formuła przedstawiona w inny sposób: z tej macierzy wiemy, że wariancja dla zapasów wynosi 350 (kowariancja każdego aktywa równa się wariancji), wariancja obligacji wynosi 150, a kowariancja między zapasami a obligacjami wynosi 80. Biorąc pod uwagę wagę naszego portfela 0,5 dla obu akcji i obligacji, mamy wszystkie warunki potrzebne do rozwiązania dla wariancji portfela Odchylenie standardowe Odchylenie standardowe można zdefiniować na dwa sposoby: 1. Miara rozproszenia zbioru danych od jego średniej Im bardziej rozłożone są dane, tym większe odchylenie Odchylenie standardowe jest obliczane jako pierwiastek kwadratowy wariancji 2. W finansowaniu odchylenie standardowe stosuje się do rocznej stopy zwrotu inwestycji w celu pomiaru zmienności inwestycji. jest również znany jako zmienność historyczna i jest używany przez inwestorów jako wskaźnik oczekiwanej zmienności. Odchylenie standardowe to pomiar statystyczny, który rzuca światło na zmienność historyczną. Na przykład, lotny materiał wyjściowy będzie miał wysokie odchylenie standardowe, podczas gdy stabilny niebieski materiał wyjściowy będzie miał niższe odchylenie standardowe. Duża dyspersja mówi nam, ile zwroty z funduszy odbiegają od oczekiwanych normalnych zysków. Przykład: odchylenie standardowe Odchylenie standardowe () odchodzi od pierwiastka kwadratowego wariancji: Do zilustrowania tej zasady wykorzystaliśmy dwusektywa, ale większość portfeli zawiera znacznie więcej niż dwa aktywa. Formuła wariancji staje się bardziej skomplikowana dla portfeli wielousystowych. Wszystkie terminy w macierzy kowariancji należy dodać do obliczeń. Przyjrzyjmy się drugiemu przykładowi, który łączy razem koncepcje wariancji i odchylenia standardowego. Przykład: odchylenie i odchylenie standardowe inwestycji Uwzględnij następujące dane dla zasobów Newco, obliczyć wariancję zapasów i odchylenie standardowe. Oczekiwany zwrot w oparciu o dane wynosi 14.Zaawansowane pojęcia prawdopodobieństwa. Kowariancja 13Karykancja jest miarą związku między dwiema zmiennymi losowymi, zaprojektowanymi w celu pokazania stopnia współdziałania między nimi. Kowariancja jest obliczana na podstawie średniej ważonej produktów ubocznych dla każdego odchylenia zmiennych losowych od własnej wartości oczekiwanej. Liczba dodatnia wskazuje na współ-ruch (tj. Zmienne mają tendencję do przemieszczania się w tym samym kierunku) wartość 0 wskazuje brak związku, a ujemna kowariancja pokazuje, że zmienne poruszają się w przeciwnym kierunku. 13 Proces faktycznego obliczania wartości kowariancji jest skomplikowany i czasochłonny i prawdopodobnie nie zostanie uwzględniony w pytaniu egzaminacyjnym CFA. Chociaż szczegółowe wzory i przykłady obliczeń są przedstawione w tekście referencyjnym, dla większości ludzi wydawanie zbyt wielu cennych godzin nauki absorbujących takie szczegóły spowoduje, że utkniesz w szczegółach, które raczej nie będą testowane. Korelacja 13Korelacja jest pojęciem związanym z kowariancją, ponieważ również wskazuje stopień, w jakim powiązane są dwie zmienne losowe, i (podobnie jak kowariancja) znak pokazuje kierunek tego związku (dodatni () oznacza, że zmienne poruszają się razem ujemnie (-) oznacza, że są odwrotnie powiązane). Korelacja 0 oznacza, że nie ma zależności liniowej w jedną lub w drugą stronę, a dwie zmienne są uważane za niezwiązane. 13 Liczba korelacji jest dużo łatwiejsza do interpretacji niż kowariancja, ponieważ wartość korelacji zawsze wynosi od -1 do 1. 13 -1 oznacza doskonale odwrotną zależność (zmiana jednostki w jednym oznacza, że druga będzie miała zmianę jednostki w przeciwnym kierunku ) 13 1 oznacza doskonale dodatnią relację liniową (zmiany jednostek w jednej zawsze powodują zmiany tej samej jednostki w drugiej). Co więcej, istnieje jednolita skala od -1 do 1, więc gdy wartości korelacji zbliżają się do 1, dwie zmienne są ściślej powiązane. Natomiast wartość kowariancji między dwiema zmiennymi może być bardzo duża i wskazywać na małą rzeczywistą zależność lub wyglądać bardzo małymi, gdy faktycznie występuje silna korelacja liniowa. Korelacja jest zdefiniowana jako stosunek kowariancji między dwiema zmiennymi losowymi a iloczynem ich dwóch odchyleń standardowych, przedstawionych w następującym wzorze: 13 Wzór 2.24 13 Korelacja (A, B) Kowariancja (A, B) 13 Odchylenie standardowe (A ) Odchylenie standardowe (B) 13Jako wynik: kowariancja (A, B) Korelacja (A, B) Odchylenie standardowe (A) Odchylenie standardowe (B) 13Brak korelacji i kowariancji z tymi wzorami jest prawdopodobnie wymagany w obliczeniach, w których udostępniane są inne warunki. Takie ćwiczenie wymaga jedynie zapamiętania związku i zastąpienia podanych warunków. Na przykład, jeżeli podano kowariancję między dwiema liczbami 30, a odchylenia standardowe to 5 i 15, korelacja wyniesie 30 (5) (15) 0,40. Jeśli otrzymasz korelację w wysokości 0,40 i odchylenie standardowe 5 i 15, kowariancja będzie wynosić (0,4) (5) (15) lub 30. Oczekiwany zwrot, odchylenie i standardowe odchylenie portfela 13Oczekiwany zwrot jest obliczany jako ważony średnia oczekiwanych zwrotów aktywów w portfelu, ważona oczekiwaną stopą zwrotu z każdej klasy aktywów. W przypadku prostego portfela dwóch funduszy inwestycyjnych, jednego inwestującego w akcje, a drugiego w obligacje, jeśli oczekujemy zwrotu funduszu podstawowego 10 i funduszu obligacji do zwrotu 6, a nasza alokacja wynosi 50 do każdej klasy aktywów, mamy: 13Oczekiwane return (portfolio) (0,1) (0,5) (0,06) (0,5) 0,08, czyli 8 wariancji (2) oblicza się przez znalezienie średniej ważonej odchyłek do kwadratu od oczekiwanej wartości. Przykład: wariancja 13 W naszym poprzednim przykładzie dotyczącym prognozy sprzedaży stwierdziliśmy, że oczekiwana wartość wyniosła 14,2 miliona. Obliczanie wariancji rozpoczyna się od obliczenia odchyleń od 14,2 miliona, a następnie do kwadratury: 13 Odpowiedź: 13 Różnice wariancji dla każdego kwadratu odchylenia o jego prawdopodobieństwo: (0,1) (3,24) (0,3) (0,64) (0,3) (0,04) (0,3) (1,44) 0,96 13 Wariancja zwrotu jest funkcją wariancji aktywów składowych, a także kowariancji między nimi. W nowoczesnej teorii portfela, niska lub ujemna korelacja między klasami aktywów zmniejszy ogólną zmienność portfela. Wzór na wariancję portfela w prostym przypadku portfela dwóch aktywów podaje: 13 Przykład: Wariancja portfela 13 Dane dotyczące zarówno wariancji jak i kowariancji mogą być wyświetlane w macierzy kowariancji. Załóżmy następującą macierz kowariancji dla naszego przypadku dwóch aktywów: 13 Z tej matrycy wiemy, że wariancja dla zapasów wynosi 350 (kowariancja każdego aktywa równa się jego wariancji), wariancja obligacji wynosi 150, a kowariancja między zapasami a Obligacje są równe 80. Biorąc pod uwagę wagę naszego portfela na poziomie 0,5 zarówno dla akcji, jak i obligacji, mamy wszystkie warunki potrzebne do rozwiązania dla wariancji portfela. Odchylenie standardowe (), jak zdefiniowano wcześniej podczas omawiania statystyk, jest dodatnim pierwiastkiem kwadratowym wariancji. W naszym przykładzie (0,96) 12 lub 0,978 miliona. 13 Odchylenie standardowe wykrywa się, przyjmując pierwiastek kwadratowy z wariancji: 13A dla zilustrowania tej zasady wykorzystano dwufazowy portfel, w którym większość portfeli zawiera znacznie więcej niż dwa aktywa, a formuła dotycząca wariancji staje się bardziej skomplikowana dla portfeli wielopodmiotowych (wszystkie terminy w macierz kowariancji należy dodać do obliczeń). Współwystępujące funkcje prawdopodobieństwa i kowariancja 13 Teraz stosuj wspólną funkcję prawdopodobieństwa do obliczania kowariancji: Przykład: kowariancja z funkcji wspólnej prawdopodobieństwa 13 Aby zilustrować te obliczenia, przyjrzyjmy się przykładowi, w którym oszacowaliśmy rok do roku wzrost sprzedaży GM i Forda w trzy środowiska przemysłowe: silne (30 prawdopodobieństwo), średnie (40) i słabe (30). Nasze oszacowania są wskazane w następującej funkcji wspólnego prawdopodobieństwa: 13 Ostatnia kolumna (prob-wtd.) Została znaleziona przez pomnożenie iloczynu krzyżowego (kolumna 4) przez prawdopodobieństwo tego scenariusza (kolumna 5). 13 Kowariancja zostaje znaleziona poprzez dodanie wartości w ostatniej kolumnie: 6.5340.0728.214 14.82. Formuła Bayesa 13 Wszyscy znamy intuicyjnie zasadę, której uczymy się na podstawie doświadczenia. W przypadku analityka uczenie się z doświadczenia ma formę dostosowania oczekiwań (i szacunków prawdopodobieństwa) w oparciu o nowe informacje. Formuła Bayesa zasadniczo przyjmuje tę zasadę i stosuje ją do pojęć prawdopodobieństwa, które już poznaliśmy, pokazując, jak obliczyć zaktualizowane prawdopodobieństwo, nowe prawdopodobieństwo, biorąc pod uwagę tę nową informację. Formuła Bayesa jest zaktualizowanym prawdopodobieństwem, podając nowe informacje: Warunkowe prawdopodobieństwo nowych informacji. biorąc pod uwagę zdarzenie (Wcześniejsze prawdopodobieństwo zdarzenia) 13 Bezwarunkowe prawdopodobieństwo nowych informacji 13 Mnożenie Reguła liczenia 13 Reguła mnożenia liczenia stwierdza, że jeśli określona liczba zadań jest podana przez k i n 1. n 2. n 3,. n k są zmiennymi używanymi do liczby sposobów wykonania każdego z tych zadań, następnie można znaleźć całkowitą liczbę sposobów wykonywania k zadań przez pomnożenie całego n 1. n 2. n 3,. n razem zmiennych. 13 Wybierz proces z czterema krokami: 13 Liczba sposobów 13 Ten krok można wykonać 13 Ten proces można wykonać w sumie 90 sposobów. (6) (3) (1) (5) 90. Zapis czynnikowy 13n n (n - 1) (n - 2). 1. Innymi słowy, 5 lub 5 silni jest równe (5) (4) (3) (2) (1) 120. W problemach z liczeniem używa się go, gdy istnieje dana grupa wielkości n, a Ćwiczenie polega na przypisaniu grupy do n gniazd, wtedy liczba sposobów, w jakie te przypisania mogą być wykonane, jest podana przez n. Jeśli zarządzaliśmy pięcioma pracownikami i mieliśmy pięć funkcji pracy, liczba możliwych kombinacji wynosi 5 120. Notacja skojarzona 13 Notacja skojarzona odnosi się do liczby sposobów, które możemy wybrać r obiektów z łącznej liczby n obiektów, gdy kolejność, w jakiej r obiektów jest wymienionych nie ma znaczenia. 13 W skrócie: 13 Gdybyśmy mieli naszych pięciu pracowników i musielibyśmy wybrać trzech z nich, aby połączyć się w nowym projekcie, gdzie będą równi członkom (tj. Kolejność, w jakiej je wybieramy, nie jest ważna), formuła mówi nam, że istnieje 5 (5 - 3) 3 120 (2) (6) 12017 lub 10 możliwych kombinacji. Zapis permutacji 13 Notacja notacji ma ten sam przypadek (wybranie r obiektów z grupy n), ale zakłada, że kolejność, w której r jest wymieniona, ma znaczenie. Podaje się to w ten sposób: 13 Wracając do naszego przykładu, jeśli nie tylko chcieliśmy wybrać trzech pracowników do naszego projektu, ale chcieliśmy ustanowić hierarchię (lider, drugi dowódca, podwładny), stosując formułę permutacji, miałby 5 (5 - 3) 1202 60 możliwych sposobów. 13 Teraz rozważmy, jak obliczyć problemy, pytając o liczbę sposobów wyboru robertów z sumy nobezów, gdy kolejność, w jakiej są wymienione projekty, ma znaczenie, a kiedy zamówienie nie ma znaczenia. 13 Formuła kombinacji jest używana, jeśli kolejność r nie ma znaczenia. Aby wybrać trzy obiekty z pięciu obiektów, znaleźliśmy 5 (5 - 3) 3. lub 10 sposobów. 13 Formułę permutacji stosuje się, gdy kolejność r ma znaczenie. Aby wybrać trzy obiekty z pięciu obiektów, znaleźliśmy 5 (5 - 3). lub 60. Procedura jednokierunkowej ANOVA porównuje średnie z dwoma lub więcej grupami. Jest używany do porównywania wpływu wielu poziomów (leczenia) pojedynczego czynnika, dyskretnego lub ciągłego, gdy istnieje wiele obserwacji na każdym poziomie. Hipoteza zerowa jest taka, że środki zmiennej pomiarowej są takie same dla różnych grup danych. Założenia Wyniki można uznać za wiarygodne, jeśli: a) obserwacje w obrębie każdej grupy są niezależnymi próbami losowymi, a w przybliżeniu normalnie rozłożone, b) wariancje populacji są równe i c) dane są ciągłe. Jeśli założenia nie są spełnione, rozważ zastosowanie nieparametrycznego testu Kruskala-Wallisa. uuml Jeśli obserwacje dla każdego poziomu są w różnych kolumnach, uruchom komendę StatistararAnalysis of wariance (ANOVA) rarrOne-way ANOVA (unstacked). uuml W przypadku danych ułożonych w stosuj komendę StatistararAnalysis of wariance (ANOVA) rarrOne-way ANOVA (z grupą zmiennych), wybierz zmienną Response i zmienną Factor. Zmienna czynnikowa jest zmienną kategoryczną o wartościach numerycznych lub tekstowych. Uuml LE zawiera tylko jednokierunkowe polecenie ANOVA (nie wysłane, wo post-hoc) i jest podobne do polecenia ANOVA - Single Factor z pakietu Analysis Toolpak dla Microsoft Excel i nie zawiera porównań post-hoc. Układ danych Dane jednokierunkowej ANOVA można zestawić na dwa sposoby, jak pokazano poniżej. Próbki dla każdego poziomu czynnika (grupy) znajdują się w różnych kolumnach Poziomy czynników są definiowane przez wartości zmiennej czynnikowej Raport zawiera analizę tabeli podsumowań wariancji i porównania post hoc. Analiza tabeli wariancji Podstawową ideą ANOVA jest rozdzielenie całkowitej zmienności obserwacji na dwie części - zmienność w obrębie grup (zmiana błędu) i zmienność między grupami (wariancja leczenia), a następnie sprawdzenie istotności wkładu tych składników w całość zmiana. Źródło Zmienności - źródło zmienności (termin w modelu). SS (Suma kwadratów) - suma kwadratów dla tego terminu. DF (Stopnie swobody) - liczba obserwacji dla odpowiedniego terminu modelu. MS (Mean Square) - oszacowanie zmiany uwzględnione w tym okresie. p-level - poziom istotności testu F. Jeśli poziom p jest mniejszy niż poziom istotności - hipoteza zerowa jest odrzucana i możemy wywnioskować, że nie wszystkie środki grupowe są równe. Analiza post-hoc (procedury wielokrotnego porównywania) Podczas gdy znaczący test F może nam powiedzieć, że grupa oznacza nie wszystkie są równe, nie wiemy dokładnie, które środki różnią się znacząco od innych. W procedurze porównawczej porównujemy średnie dla każdej z dwóch grup. Znaczące wartości kolumn pokazują, czy różnica jest znacząca na poziomie alfa i powinniśmy odrzucić hipotezę zerową H 0. Kontrasty Scheffa między parami średnich Test Scheffesa jest najpopularniejszym procesem post hoc, najbardziej elastycznym i najbardziej konserwatywnym. Test Scheffe koryguje alfę dla wszystkich par porównań średnich. Statystyka testu jest określona przez statystykę testu dla każdej pary średnich, a hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli jest większa niż wartość krytyczna. jak poprzednio zdefiniowano dla oryginalnej analizy ANOVA Test Tukeya dla różnic między środkami Tukeys HSD (różnica prawdziwie znacząca) lub test Tukeya A oparty jest na studencyjnym rozkładzie odległości. Statystyka testu jest określona testem Tukeya, który wymaga równych wielkości próbek na grupę, ale może być również dostosowany do nierównych rozmiarów próbek. Najprostsza adaptacja wykorzystuje średnią harmoniczną wielkości grup jako N. Test Tukey B lub Tukey WSD (całkowicie istotna różnica) Test Tukeys B (WSD) opiera się również na studencyjnym rozkładzie odległości. Alfa dla testu Tukey B jest średnią alfa Newmana-Keulsa i alfa Tukey HSD. Test Newmana-Keulsa jest krokowym testem wielozakresowym, opartym na studencyjnym rozkładzie odległości. Statystyka testu jest identyczna ze statystyką testową Tukeya, ale test Newmana-Keulsa wykorzystuje różne wartości krytyczne dla różnych par średnich porównań - im większa różnica rang pomiędzy parami średnich, tym większa wartość krytyczna. Test jest mocniejszy, ale mniej konserwatywny niż testy Tukeys. Test Bonferroniego dla różnic między środkami Test Bonferroniego opiera się na pomyśle podzielenia błędu rodzinnego 945 pomiędzy testy i przetestowania każdej indywidualnej hipotezy na poziomie istotności statystycznej 1 n razy, co by było, gdyby testowano tylko jedną hipotezę, tj. poziom istotności 945n. Test najmniejszej istotnej różnicy (LSD) Test Fishera LSD opiera się na założeniu, że jeśli test zbiorczy jest przeprowadzany i jest znaczący, hipoteza zerowa jest niepoprawna. Statystyka testu jest zdefiniowana w References Design and Analysis: A Researchers Handbook. 3 edycja. Geoffrey Keppel. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991. Projekt eksperymentalny: Procedury dla Behavioral Sciences 3. Edition (1995). Roger E. Kirk Pacific Grove, Kalifornia: BrooksCole, 1995. Podręcznik parametrycznych i nieparametrycznych procedur statystycznych (wydanie 3). Sheskin, David J. Boca Raton, FL, 1989.
No comments:
Post a Comment